Kula

Z Wikipedii

Ten artykuł dotyczy figury. Zobacz też: inne znaczenia słowa kula.

Definicja intuicyjna:
Kula to zbiór punktów oddalonych nie bardziej niż pewna zadana odległość (promień kuli) od wybranego punktu (środek kuli)

Kula w danej przestrzeni metrycznej (X,ρ) jest zbiorem elementów tej przestrzeni zdefiniowanym jako:

$\bar{K} _{\bar{o},r} = \{ \bar{p}: \rho(\bar{p},\bar{o}) \leq r \}$

Dla pewnych $\bar{o}$ i r, które nazywamy środkiem i promieniem kuli

Spis treści

1 Przykłady
2 Związane pojęcia
3 Wzory dla kuli w przestrzeni euklidesowej dla metryki euklidesowej
4 Uogólnienie topologiczne
5 Zobacz też

[edytuj] Przykłady

Intuicyjnie rozumiana kula – w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej dla metryki euklidesowej – jest to część przestrzeni ograniczona sferą (sfera jest powierzchnią kuli i również się w niej zawiera).

Taką kulę można wówczas opisać wzorem jako zbiór punktów, których współrzędne $(x, y, z)$ spełniają nierówność:

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2\le r^2$

gdzie $(x 0, y 0, z 0)$ są współrzędnymi środka kuli, a r oznacza jej promień.

W n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej wzór ten ma natychmiastowe uogólnienie – kula o środku w punkcie $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ i promieniu r to zbiór punktów, których współrzędne spełniają nierówność:

$(x-x_1)^2+(x-x_2)^2+\ldots+(x-x_n)^2\le r^2.$

Nietrudno zauważyć, że w dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej kulą będzie koło, zaś w jednowymiarowej – odcinek.

Dla innych metryk kula wyglądać będzie inaczej. Przykładowo, w przestrzeni $\mathbf{R}^2$ o metryce miejskiej do kuli należą punkty spełniające nierówność:

$\left|x_1 - x_2\right| + \left|y_1 - y_2\right| \le r$

Natomiast w przestrzeni liter alfabetu łacińskiego, gdzie metryką byłaby odległość między poszczególnymi literami w szyku alfabetu, kulą jest np. zbiór {G, H, I} – promień tej kuli wynosi 1, a jej środkiem jest H.

[edytuj] Związane pojęcia

Cięciwa kuli to odcinek o końcach na brzegu kuli.

Średnica kuli to cięciwa przechodząca przez środek kuli. Termin ten oznacza również długość tej cięciwy – równą podwojonej długości promienia kuli. Termin ten został uogólniony na wszelkie zbiory w przestrzeni metrycznej - zobacz średnica.

Koło wielkie kuli to koło o promieniu tej kuli, o środku w jej środku.

[edytuj] Wzory dla kuli w przestrzeni euklidesowej dla metryki euklidesowej

Objętość n-wymiarowej kuli (hiperkuli) o promieniu r: $V_n=\frac {\pi^\frac{n} {2} \ } {\Gamma(\frac{n} {2}\ +1)}\ r^{n}$
Objętość 3-wymiarowej kuli: $V=\frac{4}{3}\pi\cdot r^3 \approx 4{,}19\ r^3$
Pole powierzchni 3-wymiarowej kuli: $S=4\pi\cdot r^2 \approx 12{,}6\ r^2$

W powyższych wzorach $\pi \approx 3{,}14159265...$ jest jedną z najsłynniejszych stałych matematycznych, szerzej opisaną w artykule: Pi, zaś Γ oznacza funkcję gamma.

Uwaga: Brzegiem n-wymiarowej kuli jest n-1-wymiarowa sfera.

[edytuj] Uogólnienie topologiczne

W topologii kulę definiujemy jako rozmaitość topologiczną homeomorficzną z kulą geometryczną, zdefiniowaną jak powyżej.