Koło

Z Wikipedii

Ten artykuł dotyczy figury geometrycznej. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Koło z pokazaną średnicą, cięciwą i promieniem

Koło – zbiór punktów płaszczyzny oddalonych nie bardziej niż o zadaną odległość (promień koła) od zadanego punktu na tej płaszczyźnie (środek koła).

Równoważna definicja: okrąg wraz z ograniczonym obszarem płaszczyzny wyciętym przez niego; okrąg ten jest brzegiem koła.

Koło w kartezjańskim układzie współrzędnych jest opisane wzorem:

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2\leq r^2$

gdzie:

$r>0\;$ to tzw. promień koła
$(x_0, y_0)\;$ to współrzędne środka koła

[edytuj] Związane pojęcia

Koło otwarte to koło bez brzegu czyli ograniczającego je okręgu. Pojęcie to często pojawia się w analizie matematycznej w teorii funkcji zmiennej zespolonej. "Zwykłe" koło dla odróżnienia nazywa się wtedy kołem domkniętym.

Cięciwa koła to odcinek o końcach na brzegu koła.

Promień koła to:

odcinek z jednym końcem na brzegu koła, a drugim w środku koła.
długość tego odcinka

Średnica koła to:

cięciwa przechodząca przez środek koła
długość tej cięciwy, czyli podwojona wartość promienia koła.

[edytuj] Podstawowe wzory

W poniższych wzorach π≈3,14159265... jest jedną z najsłynniejszych stałych matematycznych, szerzej opisaną w artykule: Pi.

pole powierzchni koła:

$S=\pi r^2 \approx 3.14\ r^2 \,$

obwód koła:

$O=2\pi r \approx 6.28\ r \,$

pole wycinka koła o kącie środkowym α° lub φ radianów :

$S=\frac {\alpha^\circ}{360 ^\circ} \pi r^2 =\frac{r^2\varphi}{2}$

pole odcinka koła o kącie środkowym α° lub φ radianów :

$S=\frac {\alpha^\circ}{360 ^\circ} \pi r^2 -\frac{r^2 \sin\alpha^\circ}{2}=\frac{r^2 \varphi}{2} - \frac{r^2 \sin\varphi}{2}$

długość łuku okręgu, na którym wspiera się kąt środkowy α° lub φ radianów:

$L=\frac {\alpha^\circ \pi r}{180^\circ} = r\varphi$

[edytuj] Koło w przestrzeni trójwymiarowej

Koło o środku w punkcie $O (x s, y x, z s)$ i promieniu $r$ , zanurzone w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej może być zdefiniowane jako część wspólna kuli o środku w O i płaszczyzny przechodzącej przez O. Opisuje je układ:

$\left\{\begin{matrix} A\cdot (x-s_x)+B\cdot (y-s_y)+C\cdot (z-s_z)=0 \\ (x-s_x)^2+(y-s_y)^2+(z-s_z)^2\leq r^2 \\ \end{matrix}\right.$

gdzie $r > 0$ oraz A, B i C nie są równocześnie zerem.

[edytuj] Koło w przestrzeni wielowymiarowej

Koło zanurzone w przestrzeni euklidesowej n-wymiarowej o środku w punkcie $O (s 1, s 2,..., s n)$ i promieniu $r$ może być zdefiniowane jako część wspólna n-wymiarowej kuli o środku w O i n-2 hiperpłaszczyzn przechodzących przez O. Każde koło w przestrzeni wielowymiarowej może zatem być opisane układem n-2 równań i jednej nierówności:

$\left\{\begin{matrix} a_{1,1}\cdot (x_1-s_1)+a_{1,2}\cdot (x_2-s_2)+\dots+a_{1,n}\cdot (x_n-s_n)=0 \\ a_{2,1}\cdot (x_1-s_1)+a_{2,2}\cdot (x_2-s_2)+\dots+a_{2,n}\cdot (x_n-s_n)=0 \\ \dots \\ a_{n-2,1}\cdot (x_1-s_1)+a_{n-2,2}\cdot (x_2-s_2)+\dots+a_{n-2,n}\cdot (x_n-s_n)=0 \\ (x_1-s_1)^2+(x_2-s_2)^2+\dots (x_n-s_n)^2\leq r^2 \\ \end{matrix}\right.$

Jednak nie każdy układ tej postaci generuje koło, np. jeśli dwa spośród tych równań będą liniowo zależne, zbiorem rozwiązań układu nie będzie koło, a np. trójwymiarowa kula.

[edytuj] Koło w przestrzeni metrycznej

Pojęcie koła może być uogólnione na dowolną przestrzeń metryczną. Jest to wówczas zbiór elementów tej przestrzeni odległych od jakiegoś elementu przestrzeni zwanego środkiem koła nie bardziej niż zadana odległość (promień) zgodnie z obowiązującą w danej przestrzeni metryką.

Dla dowolnych przestrzeni metrycznych:

$K_{\bar{x}_{0}}(r) = \{ \bar{x}: \rho(\bar{x}_{0},\bar{x}) \leq r \}$

gdzie

$\rho(\bar{x}_{0},\bar{x})$ - metryka przestrzeni

Takie uogólnienie nazywamy kulą.